Đạo hàm của hàm véc tơ n biến

1. Định nghĩa: Đạo hàm của hàm véc tơ n biến
Cho hàm véc tơ $f: {\mathbb{R}}^n \longrightarrow {\mathbb{R}}^m, a\in {\mathbb{R}}^n$. Hàm $f$ được gọi là khả vi tại $a$ nếu có ánh xạ tuyến tính $\lambda: {\mathbb{R}}^n \longrightarrow {\mathbb{R}}^m$ sao cho
$$\lim \limits_{||h\rightarrow 0||}\frac{||f(a+h)-f(a)-\lambda(h)||}{||h||}=0$$
Khi đó, ánh xạ tuyến tính $\lambda$ được gọi là đạo hàm của $f$ tại $a$ và kí hiệu là $Df(a)$.
Lưu ý:

• Trong định nghĩa trên không cần $f$ xác định trên    ${\mathbb{R}}^n$ mà chỉ cần $f$ xác định trên một tập mở chứa $a$.
• Đạo hàm của $f$ tại $a$ nêu có là duy nhất.

Một số tính chất:

• Nếu $f: {\mathbb{R}}^n \longrightarrow {\mathbb{R}}^m $ là hàm hằng thì $Df(a)= 0, \forall a\in {\mathbb{R}}^n $.

• Nếu $f: {\mathbb{R}}^n \longrightarrow {\mathbb{R}}^m $ là ánh xạ tuyến tính thì  $Df(a)= f, \forall a\in {\mathbb{R}}^n $.

• Hàm  $f: {\mathbb{R}}^n \longrightarrow {\mathbb{R}}^m $ khả vi tại $a$ khi và chỉ khi mỗi hàm tọa độ $f^i$ khả vi tại $a$ và

$$Df(a)(x)=(Df^1(a)(x), D^2f(a)(x), ..., D^mf(a)(x)).$$
Định lý:
Nếu  $f: {\mathbb{R}}^n \longrightarrow {\mathbb{R}}^m $ khả vi tại $a$ và $g: {\mathbb{R}}^m \longrightarrow {\mathbb{R}}^n $ khả vi tại $f(a)$ thì $g \circ f$ khả vi tại $a$ và
$$D(g \circ f)(a)=Dg(f(a))\circ Df(a).$$