tuyensinhvn xin giới thiệu Đề thi Cao học Toán Đại học Sư phạm Hà Nội năm 2012.
ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH
I/ Lý thuyết
Câu 1:
a/ Định nghĩa tập compact trong không gian metric. Cho ví dụ về tập compact.
b/ Phát biểu và chứng minh đặc trưng Heine - Borel về tập compact.
Câu 2:
Định nghĩa toán tử tuyến tính liên tục giữa hai không gian định chuẩn. Phát biểu và chứng minh các điều kiện tương đương để một toán tử tuyến tính giữa hai không gian định chuẩn là liên tục.
Câu 3:
Phát biểu và chứng minh định lý về sự tồn tại phép chiếu trực giao.
II/ Bài tập
Câu 1:
Giả sử $f: X \to Y$ là ánh xạ liên tục đều từ không gian
metric $X$ vào không gian metric $Y$. Chứng minh nếu $A \subset X$ là tập hoàn toàn bị chặn thì $f(A)$ là tập hoàn toàn bị chặn trong $Y$.
Câu 2:
Cho $f$ là ánh xạ tuyến tính từ không gian định chuẩn $E$ vào không gian định chuẩn $F$. Chứng minh rằng $f$ liên tục khi và chỉ khi mọi dãy $\{x_n\} \subset E$ mà $x_n \to 0$ thì $\{f(x_n)\}$ bị chặn.
Câu 3:
Giả sử $E$ là không gian Hilbert và $A: E \to E$ là toán tử tuyến tính. Chứng minh nếu có đẳng thức
$\langle Ax,y \rangle =\langle x,Ay \rangle$, với mọi $x,y \in E $ thì $A$ liên tục.
Câu 4:
Giả sử $E$ là không gian Banach vô hạn chiều và $A$ là toán tử compact từ $E$ vào không gian định chuẩn $F$. Chứng minh tồn tại dãy $\{x_n\} \subset E$, $\|x_n\|=1$ sao cho $\lim_{n \to \infty} A(x_n)=0$.
ĐỀ THI MÔN ĐẠI SỐ.
Tiếp tục cập nhật.
File download sẽ được cập nhật trong phần comments (nếu có).
ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH
I/ Lý thuyết
Câu 1:
a/ Định nghĩa tập compact trong không gian metric. Cho ví dụ về tập compact.
b/ Phát biểu và chứng minh đặc trưng Heine - Borel về tập compact.
Câu 2:
Định nghĩa toán tử tuyến tính liên tục giữa hai không gian định chuẩn. Phát biểu và chứng minh các điều kiện tương đương để một toán tử tuyến tính giữa hai không gian định chuẩn là liên tục.
Câu 3:
Phát biểu và chứng minh định lý về sự tồn tại phép chiếu trực giao.
II/ Bài tập
Câu 1:
Giả sử $f: X \to Y$ là ánh xạ liên tục đều từ không gian
metric $X$ vào không gian metric $Y$. Chứng minh nếu $A \subset X$ là tập hoàn toàn bị chặn thì $f(A)$ là tập hoàn toàn bị chặn trong $Y$.
Câu 2:
Cho $f$ là ánh xạ tuyến tính từ không gian định chuẩn $E$ vào không gian định chuẩn $F$. Chứng minh rằng $f$ liên tục khi và chỉ khi mọi dãy $\{x_n\} \subset E$ mà $x_n \to 0$ thì $\{f(x_n)\}$ bị chặn.
Câu 3:
Giả sử $E$ là không gian Hilbert và $A: E \to E$ là toán tử tuyến tính. Chứng minh nếu có đẳng thức
$\langle Ax,y \rangle =\langle x,Ay \rangle$, với mọi $x,y \in E $ thì $A$ liên tục.
Câu 4:
Giả sử $E$ là không gian Banach vô hạn chiều và $A$ là toán tử compact từ $E$ vào không gian định chuẩn $F$. Chứng minh tồn tại dãy $\{x_n\} \subset E$, $\|x_n\|=1$ sao cho $\lim_{n \to \infty} A(x_n)=0$.
ĐỀ THI MÔN ĐẠI SỐ.
Tiếp tục cập nhật.
File download sẽ được cập nhật trong phần comments (nếu có).
