Câu hỏi “Toán học phổ thông: tồn tại hay không tồn tại?” đặt ra ở một hội nghị bàn về “Giảng dạy toán học phổ thông và toán học phổ thông với toán học hiện đại”, chắc chắn sẽ gây nhiều tranh cãi. Tuy nhiên, người viết bài này hy vọng sẽ tránh được phần nào “búa riù”, bởi lẽ bản báo cáo không những nhằm mục đich “chứng minh” không tồn tại “toán học phổ thông”, mà còn “chứng minh” sự không tồn tại của “toán học hiện đại”. Nói cách khác, chỉ tồn tại một Toán học duy nhất. Chúng tôi cũng mạnh dạn góp một vài ý kiến rất chủ quan của mình về việc làm thế nào bồi dưỡng cho học sinh lòng say mê toán học từ những bài học ở nhà trường phổ thông.
Tồn tại khá phổ biến trong học sinh quan niệm cho rằng, toán học đã là một “lâu đài đẹp đẽ”, khó có thể phát kiến thêm điều gì ở đó, và toán học bao giờ cũng rất xa rời với thực tiễn. Vì thế, để hướng cho các em say mê với toán học, không gì hơn là cho các em thấy rõ, từ những trang sách nhà trường đến những ứng dụng lớn lao nhất của toán học chỉ là một bước nhỏ, và hầu như ai cũng có thể vượt qua bước đó, chỉ cần suy nghĩ sâu hơn một chút! Đó cũng là nội dung chủ yếu mà báo cáo này muón đề cập đến, thông qua việc trình bày một số thành tựu quan trọng nhất của toán học, mà một học sinh với kiến thức phổ thông có thể hiểu rõ, ít nhất là về ý tưởng.
1. Từ Eratosthènes đến mật mã khoá công khai.Ngay từ bậc tiểu học, chúng ta đã biết, sàng Eratosthenes cho cách tìm tất cả các số nguyên tố. Và bất kì học sinh nào cũng biết phân tích một số nguyên ra thừa số nguyên tố. Bài toán tưởng chừng như quá đơn giản, và không còn gì để nghiên cứu nữa. Nhưng phải chăng, việc chúng ta kết thúc bài giảng tại đó là chưa hợp lí? Trong thời đại mà tin học xâm nhập vào mọi lĩnh vực của đời sống, thiết tưởng nên để cho học sinh biết rằng thời gian để phân tích một số ra thừa số nguyên tố nhiều khi thật khó chấp nhận. Chẳng hạn, thời gian cần thiết để phân tích một số có khoảng 200 chữ số ra thừa số nguyên tố (với một máy tính tốc độ 1 triệu phép tính trên 1 giây) là… 3,8 tỷ năm! Vậy chúng ta đành bó tay trước những số lớn như vậy sao? Ở đây, toán học đã “lợi dụng “ sự yếu kém của máy tính, và đó là nguyên nhân ra đời của một hiện tượng gây nhiều tiếng vang: các hệ mật mã khoá công khai. Nói một cách vắn tắt, tư tưởng của nó là như sau. Để có thể tiếp nhận thông tin mật mà người khác gửi đến cho mình, mỗi người chỉ cần công bố công khai một “khoá lập mã”, là một số nguyên n đủ lớn (khoảng 200 chữ số). Ai cũng có thể mã hoá các thông báo và chuyển cho người cần nhận khi biết khoá n đó. Tuy vậy, để đọc được thông báo đó, cần biết cách phân tích số n ra thừa số nguyên tố, và việc làm này mất hàng tỷ năm! Với người đã công bố khoá thì vấn đề quá đơn giản: số n chính là số mà anh ta nhận được bằng cách nhân hai số nguyên tố đủ lớn đã chọn sẵn. Và như vậy, anh ta chỉ cần giữ bí mật hai số nguyên tố đó, không một ai khác biết các số đó. Điều này thực sự khác với các hệ mật mã cổ điển, khi mà mọi người cùng trong một hệ thống đều nắm được bí mật của nhau, và do đó, bí mật này rất dễ bị lộ.
Sự ra đời của các hệ mật mã khoá công khai là một cuộc cách mạng lớn trong thông tin. Vậy mà để giải thích nó, chỉ cần đến kiến thức của học sinh cấp hai! Điều này đã thực sự xoá nhoà ranh giới giữa toán học “phổ thông” và toán học “hiện đại”, thậm chí, ranh giới giữa toán học lí thuyết và toán học ứng dụng. Một công trình nghiên cứu toán học thuần tuý có thể ngay lập tức bước vào thực tiễn.
Vậy nhưng con đường từ toán học đến thực tiễn không phải bao giờ cũng nhanh chóng và bằng phẳng như vậy. Tôi muốn nói dến một trong những ứng dụng vĩ đại nhất trong lịch sử, và thời gian đi từ lí thuyết đến thực tiễn là vào khoảng 2000 năm! Và một lần nữa, lại là ví dụ cho thấy từ trang sách toán phổ thông có thể đi đến những phát kiến vĩ đại
2. Từ Apollonius đến Kepler và Newton.Các thiết diện côníc đã được nhà toán học cổ Hy Lạp Apollonius nghiên cứu vào thế kỉ thứ 3 trước công nguyên. Trong nhiều thế kỉ, đó là một lí thuyết đẹp, nhưng cũng giống như nhiều lí thuyết toán học khác, chỉ được xem như các “trò chơi của trí tuệ”. Mãi đến đầu thế kỉ 17, lợi ích của lí thuyết này mới được chứng minh, khi Johannes Kepler phát minh ra luật chuyển động của các hành tinh. Thầy học của ông, nhà thiên văn Tycho Brahe đã tiến hành đo đạc trong vòng 20 năm tại đài thiên văn Uraniborg về vị trí các hành tinh trong hệ mặt trời, và đi đến kết luận rằng, các hành tinh chuyển động theo quỹ đạo vòng tròn. Sau khi Tycho Brahe qua đời, Kepler lãnh đạo đài thiên văn và ông không bằng lòng với kết luận cho rằng, độ lệch khỏi vòng tròn của quỹ đạo các hành tinh mà đài quan sát được chỉ là sai số đo đạc. Vốn là người rất say mê lí thuyết các đường côníc và hiểu rõ rằng, các đường ellip với hai tiêu cự rất gần nhau trông rất giống đường tròn, Kepler nghi ngờ rằng, các quỹ đạo đã được xem là đường tròn đó rất có thể lại là các ellip. Sau khi kiểm tra lại kĩ lưỡng, Kepler đi đến phát minh vào loại vĩ đại nhất trong lịch sử: các hành tinh chuyển động theo quỹ đạo ellip. Phát kiến này được Newton chứng minh vào cuối thế kỉ 17 bằng lí thuyết vạn vật hấp dẫn.
Như vậy, bằng trí tuệ của mình, Apollonius đã phát hiện ra những đường cong vĩ đại của vũ trụ, và đẩy nhanh sự phát minh ra một trong những quy luật quan trọng nhất của tự nhiên.
3. Từ Archimede đến Einstein.Nếu như những ví dụ trên đây cho thấy, đằng sau các khái niệm và kiến thức toán học phổ thông có thể ẩn náu những thành tựu hiện đại nhất của toán học và những phát kiến vĩ đại nhất, thì ví dụ tiếp theo sẽ lại một lần nữa cho học sinh thấy rằng ”lâu đài toán học” không phải đã hoàn hảo như ta tưởng, và ở đó còn nhiều việc cần làm.
Khi bắt đầu với bộ môn hình học, chúng ta đều giảng về một tiên đề rất trực quan, đó là tiên đề Archimede: khi dùng một đoạn thẳng làm đơn vị để đo một đoạn thẳng khác dài hơn, ta sẽ được một số nguyên lần đơn vị đo, và còn lại một đoạn có độ dài bé hơn đơn vị. Chắc ít ai nghi ngờ gì về tiên đề đã nêu. Tuy nhiên, tình hình sẽ thay đổi hẳn khi ta suy nghĩ sâu hơn một chút về sự thống nhất của thế giới vĩ mô và vi mô.
Một trong những bài toán cơ bản mà Einstein có ước mơ giải quyết là xây dựng một lí thuyết trường thống nhất cho cả thế giới vĩ mô và thế giới vi mô. Dĩ nhiên, trong một lí thuyết thống nhất như vậy chúng ta phải dùng “khoảng cách” thống nhất. Điều gì sẽ xẩy ra, nếu khoảng cách này thoả mãn tiên đề Archimede? Khi đo khoảng cách trong thế giới vi mô, ta thường dùng “thang Planck”, bằng khoảng
10-35 cm. Hãy hình dung việc lấy thang đó làm đơn vị để đo khoảng cách giữa các vì sao. Ta sẽ được một số hữu hạn lần đơn vị đo, và có thể “còn lại” một khoảng bé hơn 10-35 cm? Lần này, trực giác khó làm cho ta chấp nhận, như đã chấp nhận tiên đề Archimede bằng trực giác. Vậy, phải chăng để xây dựng được lí thuyết trường thống nhất, ta cần một khái niệm khoảng cách mà trong đó tiên đề Archimede không còn đúng nữa? Câu hỏi này đã được nhiều nhà vật lí nghiên cứu, và trong những năm gần đây đã ra đời bộ môn vật lí không Archimede. Khoảng cách được dùng trong đó chính là khoảng cách không thoả mãn tiên đề Archimede (khoảng cách p-adic) đã được xây dựng từ lâu trong toán học. Một điều thú vị là, định lí Ostrovski khẳng định rằng, nếu trên tập hợp các số hữu tỉ, ta cho một khoảng cách thoả mãn các tiên đề thông thường thì đó hoặc phải là khoảng cách thông thường, hoặc là khoảng cách p-adic với một số nguyên tố p nào đó. Như vậy, việc đưa thêm các khoảng cách p-adic đã vét cạn mọi khoảng cách có thể được cho trên tập hợp các số hữu tỷ. Khoảng cách p-adic có ứng dụng không chỉ trong các bài toán hình học, mà còn cả trong số học. Thực ra, khoảng cách này bắt đầu từ những nghiên cứu số học.
Như vậy, ngay đằng sau một tiên đề của hình học phổ thông, ta đã thấy mầm mống của sự xuất hiện một ngành mới của toán học hiện đại, và thậm chí, một ngành vật lí mới.
Có thể dẫn ra nhiều ví dụ tương tự để chứng minh rằng, không có khoảng cách nào giữa toán học phổ thông và toán học hiện đại. Vậy thì, chúng ta cần giảng dạy như thế nào để học sinh phổ thông yêu thích môn toán và có hình dung đúng đắn về toán học hiện đại? Đây là một vấn đề quá lớn, và chúng tôi chỉ xin mạnh dạn nêu vài ý kiến chủ quan, xuất phát từ sự phân tích trên đây về quan hệ giữa toán học phổ thông và toán học hiện đại.
4. Dạy theo Bourbaki hay theo các bà nội trợ?Đã một thời, những bài tập ở phổ thông thường mô phỏng loại toán của các bà nội trợ: một người đi chợ mang theo 100 đồng, dùng hết số tiền đó và mua được 36 con vừa gà vừa chó. Giá mỗi con chó là 4 đồng, giá mỗi con gà là 2 đồng. Hỏi người đó mua mấy con gà, mấy con chó? Thật là một bài toán xa thực tế, vì chẳng mấy ai mua bán như vậy. Dĩ nhiên, cũng có thể đặt những bài toán có vẻ thực tế hơn, nhưng dù sao, vẫn là “loại toán của các bà nội trợ”. Đó là lí do mà trong những năm gần đây, người ta có xu hướng đưa vào chương trình toán những vấn đề có vẻ gần “thực tiễn” hơn. Xu hướng này đặc biệt phổ biến ở Mỹ. Kết quả của phương pháp giảng dạy này còn phải tranh cãi nhiều, nhưng tưởng cũng cần nhắc lại câu của nhà thơ Maiacôpxki khi nói về sự cách tân trong thơ Nga: “ Người đầu tiên phát minh ra 2+2=4 là một nhà toán học vĩ đại, dù anh ta phát minh ra điều đó nhờ việc cộng 2 điếu thuốc lá với 2 điếu thuốc lá. Còn người sau đó phát hiện ra 2 cái đầu tàu hoả cộng 2 đầu tàu hoả bằng 4 đầu tàu hoả thì đã không còn là nhà toán học nữa!” Như vậy, ngay nhà thơ vĩ đại cũng thấy rằng, điều quan trọng ở đây là cấu trúc chứ không phải bản thân các đối tượng đề cập đến trong bài toán. Những người phản đối phương pháp dạy mới ở Mỹ cho rằng, người ta đang dạy cho học sinh thứ toán học “đầu tàu”, và tưởng nhầm là hay hơn toán học của các bà nội trợ.
Nhưng, cũng tồn tại khá phổ biến quan niệm ngược lại. Sự chú ý đặc biệt đến việc cho học sinh làm quen dần với các cấu trúc đại số đã dẫn đến quan niệm về giảng dạy theo “tinh thần Bourbaki”. Trong vài thập kỉ gần đây, quan niệm này gây sự chú ý rộng rãi trong cộng đồng các nhà nghiên cứu và giảng dạy toán học. Những ngưòi ủng hộ quan niệm đó đã có công rất lớn trong việc rèn luyện cho học sinh tư duy trưù tượng, đặc biệt là tránh một số sai lầm do trực giác gây ra. Tuy nhiên, việc đưa vào chương trình phổ thông những khái niệm trừu tượng theo kiểu tiên đề cũng không tranh khỏi gây nhiều tranh cãi. Thứ nhất, không ít người đã đồng nhất “trừu tượng” và “hiện đại”. Họ cho rằng, những gì hiện đại thì phải trừu tượng, và ngược lại. Thực ra, một vài ví dụ nhỏ trong bài này đã phần nào cho thấy sự phát triển hiện đại của toán học nằm trong nhu cầu nội tại của toán học và trong nhu cầu của thực tiễn, và một thành tựu, một lĩnh vực được xem là hiện đại hay không khi nó đáp ứng đến mức độ nào các nhu cầu đó, chứ tuyệt nhiên không phải ở mức độ trừu tượng của nó. Thực ra, trong nghiên cứu, các nhà toán học chỉ dùng trừu tượng ở mức độ “tối thiểu cần thiết”. Qua việc chỉ ra một số thành tựu hiện đại nhất của toán học mà một học sinh phổ thông có thể hiểu được, chúng ta cũng thấy rằng, có thể làm cho học sinh phổ thông hiểu toán học hiện đại là gì, mà không đòi hỏi phải viện đến các khái niệm trừu tượng. Vả lại, một khi học sinh chưa được trang bị đủ “mô hình” cần thiết thì việc tiếp thu các khái niệm trừu tượng thường mang nặng ý nghĩa hình thức. Điều này dễ dần đến việc hiểu sai bản chất của toán học. Nói cho cùng, toán học là sản phẩm của thực tiễn, và nó thực sự dễ hiểu khi ta mô tả nó một cách giản dị và cụ thể.
Tóm lại, mục tiêu của chúng ta là, một mặt, trang bị cho học sinh những kiến thức toán học cần thiết, và những kiến thức đó càng gần với thực tiễn bao nhiều thì càng tốt bấy nhiêu, mặt khác, làm cho học sinh hiểu được bản chất của toán học và say mê học toán. Muốn vậy, không thể chỉ dạy cho học sinh “toán học phổ thông”, bởi lẽ không có một hàng rào nào ngăn cách toán học phổ thông với toán học hiện đại. Chỉ có điều, cần hiểu đúng thế nào là hiện đại, để tránh “trừu tượng hoá” chương trình toán một cách không cần thiết. Đằng sau mỗi bài toán của các bà nội trợ đều ẩn náu một phát minh vĩ đại của toán học hiện đại. Song, đối với người thầy, làm cho học sinh hiểu được điều đó quả là một nhiệm vụ cực kì khó khăn!
Bài nói của GS. Hà Huy Khoái ở Hội thảo về Phổ thông chuyên Toán, ĐHQG Hà Nội tổ chức, tháng 1/1998.
