1. Lý do chọn đề tài
Ở chương trình phổ thông, chúng ta đã bước đầu làm quen với khái niệm tích phân và những ứng dụng hữu ích của nó. Khi đó, phép lấy tích phân của những hàm liên tục hoặc gián đoạn tại hữu hạn điểm được thực hiện một cách dễ dàng bằng tích phân Riemann. Thế nhưng, đối với những hàm gián đoạn tại vô số điểm hoặc tất cả các điểm thì làm thế nào để có thể lấy tích phân theo một nghĩa nào đó? Đây là một câu hỏi đã được đặt ra trong suy nghĩ của em suốt thời phổ thông. Khi bước vào đại học, em đã có cơ hội để trả lời câu hỏi đó qua việc tìm hiểu về tích phân Lebesgue. Tuy nhiên, trong khuôn khổ của một môn học, em không có điều kiện để nghiên cứu sâu về các tính chất cũng như các điều kiện khả tích của loại tích phân này trong những trường hợp khác nhau. Do đó, em luôn có mong muốn đào sâu hơn về vấn đề này để bổ sung và hoàn thiện thêm kiến thức của mình. Với những lý do trên, cùng với sự gợi ý của cô em đã mạnh dạn chọn đề tài này để hoàn thành luận văn tốt nghiệp của mình.
2. Lịch sử vấn đề
Lý thuyết tích phân tổng quát được nhà toán học Henri Lebesgue xây dựng vào đầu thế kỷ XX. Sau đó, nó được hoàn thiện đáng kể bởi nhiều nhà toán học lớn. Lý thuyết này đã khắc phục được những khiếm khuyết của tích phân Riemann. Ngoài ra, lý thuyết tích phân của Lebesgue còn đáp ứng được các yêu cầu phát triển trong các lĩnh vực: Xác suất, Phương trình đạo hàm riêng, Cơ học lượng tử…
3. Mục đích nghiên cứu
- Hệ thống các tính chất của tích phân Lebesgue, tìm hiểu các điều kiện khả tích (L), xét tính khả tích (L) của các hàm đo được. Nghiên cứu sâu hơn các tính chất liên quan đến tính khả tích (L).
- Giải một số bài toán về tích phân Lebesgue. Chẳng hạn: Tính tích phân (L) bằng cách sử dụng các hàm đơn giản, hàm tương đương, tính s_cộng tính, tính chất của độ đo, định lý hội tụ đơn điệu, định lý hội tụbị chặn.
- Giải một số bài toán liên quan đến qua giới hạn dưới dấu tích phân.
- Giải các bài toán liên quan đến điều kiện khả tích của các hàm đo được.
4. Phạm vi nghiên cứu
Tích phân Lebesgue: các tính chất, các dạng toán liên quan đến tích phân Lebesgue.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Tập hợp, tham khảo các tài liệu có liên quan đến đề tài.
- Hệ thống những kiến thức tiên quyết, cơ sở để tiếp cận nội dung chính của đề tài.
- Kết hợp tự nghiên cứu, trao đổi, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn.
6. Mục lục
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Độ đo Lebesgue, hàm số đo được
Chương 2: Tích phân Lơ-be, khả tích Lebesgue
Chương 3: Hệ thống Bài tập về tích phân Lebesgue
Tải về Luận văn tính khả tích Lebesgue của Phan Trần Diễm, Đại học Cần Thơ.
Download 1.
Download 2.
