Chứng minh định lý lớn Fermat chỉ trong 20 trang?

Một bạn đọc của tuyensinhvn.com đã cung cấp file PDF: “The margin is too narrow to contain a truly remarkable proof” của tác giả Nguyễn Tri Phương ở TP Hồ Chí Minh. File này được lưu trữ ở host của mathforum.org. Nội dung chính của tài liệu là "cố gắng chứng minh định lý (lớn) Fermat" chỉ với 20 trang A4 (cả phần giới thiệu và tài liệu tham khảo, còn nội dung chính chỉ 18 trang).
tuyensinhvn post lên đây để nhờ các chuyên gia đầu ngành kiểm tra xem chứng minh này có đúng không. Mọi ý kiến xin để lại ở phần comments hoặc email về: admin@tuyensinhvn.com. Xin cảm ơn.

Trang đầu tiên của tài liệu "chứng minh định lý lớn Fermat"

Bản đầy đủ (PDF, 20 trang) các bạn download ở đây: Download (MF)

Tags: chung minh dinh ly lon Fermat, chung minh so cap dinh li Fermat, chung minh dinh ly cuoi cung cua Fermat, Fermat’s Last Theorem Proof.

Sai lầm khi giải bài toán tìm m để hàm số đạt cực đại (tiểu)

Chúng ta bắt đầu bằng đề và đáp án câu 6b trong đề thi học kì 1, môn Toán 12 của Sở GD-ĐT Thừa Thiên Huế (gọi là Bài toán 1).

Cùng với bản đính chính (do chuyên viên Sở cung cấp, chỉ sửa dấu "tương đương" bởi dấu "suy ra", ngay sau y'(2)=0 và y''(2)>0), có thể tóm lược lời giải này gồm 2 bước như sau:
1) Giả sử hàm số đạt cực tiểu tại x=2, suy ra y'(2)=0 và y''(2)>0, suy ra m=16.
2) Với m = 16, kiểm tra được hàm số đạt cực tiểu tại x=2 (nhờ bảng biến thiên).
Cả hai bước này đều có những sai lầm nghiêm trọng. Dễ thấy rằng, ở bước 2, tác giả đã vẽ bảng biến thiên sai. Tuy nhiên sai lầm trầm trọng nhất nằm trong bước 1.
Để bạn đọc thấy rõ sai lầm này, ta "làm tương tự" với bài toán sau:
Bài toán 2: Định m để hàm số y = m.x⁴ + 1 đạt cực tiểu tại x = 0.
Tương tự như lời giải của Bài toán 1, ta làm như sau:
Ta có y' = 4m.x³, y'' = 12m. x². Hàm số đạt cực tiểu tại x=0 nên: y'(0)=0 và y''(0)>0, điều này dẫn đến không có giá trị nào của m thỏa mãn. (Do đó khỏi cần làm bước 2).
Tuy nhiên, dễ thấy rằng, hàm số trên sẽ đạt cực tiểu tại x=0 với mỗi số dương m. Hình ảnh dưới đây minh họa cho trường hợp m=1.

Hàm số này đạt cực tiểu tại x = 0.

Như vậy lời giải của chuyên viên Sở GD-ĐT Thừa Thiên Huế sai ở chỗ nào? Để trả lời câu hỏi này, trước hết ta xem lại 2 định lí trong sách giáo khoa Toán 12:
Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị (Giải tích 12 nâng cao, trang 11):
Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm a. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại a thì f'(a)=0.
Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị (Giải tích 12 nâng cao, trang 15):
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 1 trên một khoảng chứa a, f'(a) = 0 và f có đạo hàm cấp 2 tại a.
(i) Nếu f''(a)>0 thì x=a là điểm cực tiểu.
(ii) Nếu f''(a)<0 thì x=a là điểm cực đại.
(Còn nếu f''(a) = 0 thì ta chưa kết luận được gì).

Từ đó có thể thấy, sai lầm của lời giải trên nằm ở chỗ: tác giả không phân biệt được đâu là điều kiện cần, đâu là điều kiện đủ. Đây là sai lầm mà nhiều học sinh (và cả một số giáo viên) thường mắc phải khi giải bài toán "tìm m để hàm số đạt cực đại (tiểu) tại một điểm".

Để kết thúc bài viết này, chúng tôi sửa lại lời giải Bài toán 1:
1) Giả sử hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. Khi đó, theo điều kiện cần của cực trị, ta có y'(2)=0, suy ra m=16.
2) Với m = 16, ta kiểm tra được hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 (có thể dùng bảng biến thiên hoặc điều kiện đủ của cực trị, tuy nhiên nên dùng "điều kiện đủ" cho nhanh).
Vậy m=16 là giá trị duy nhất thỏa yêu cầu bài toán.

P.S. Nhiều bạn thắc mắc tại sao chúng tôi không công bố tất cả sai sót trong đáp án đề thi HK1 Toán 12,  như đã hứa ở cuộc thi do tuyensinhvn tổ chức. Bài viết này chỉ chỉ ra lỗi sai trầm trọng nhất, các lỗi còn lại như: giải phương trình thiếu điều kiện; vẽ hệ trục không có Ox, Oy; tính toán sai, lỗi chính tả, đánh sai năm học; ... các bạn cũng dễ dàng tìm được. Xem toàn bộ đề và đáp án nhiều sai sót này ở đây.

Kết quả cuộc thi "SAI LẦM Ở ĐÂU?" trong đáp án đề thi Toán 12 (Huế)

Đầu tiên, tuyensinhvn xin gửi lời chúc mừng năm mới đến với quý độc giả, những người đã ghé thăm và ủng hộ cho tuyensinhvn.com trong năm qua.

*•,¸.¸,•*¤*•,¤*•,¸.¸,•*¤*•,¸.,•*¤*•,¸.¸,•*¤*•,¸.¸,•*¤*•,¤*•,¸.¸,•*¤*•

HAPPY NEW YEAR - CHÚC MỪNG NĂM MỚI 2012

*•,¸.¸,•*¤*•,¤*•,¸.¸,•*¤*•,¸.,•*¤*•,¸.¸,•*¤*•,¸.¸,•*¤*•,¤*•,¸.¸,•*¤*•

Sau hơn 2 ngày diễn ra, cuộc thi tìm lỗi sai trong đáp án đề thi học kì 1 môn Toán lớp 12 của tỉnh Thừa Thiên Huế đã thu hút được 11 bạn học sinh lớp 12 tham gia.

Danh sách cụ thể như sau:

STT	Họ và tên	Đến từ	Nộp bài lúc
01	Nguyễn Thị Thùy Tâm	Bình Định	10:03 30/12/2011
02	Đoàn Văn Toàn	Thừa Thiên Huế	13:44 30/12/2011
03	Trần Thanh Huy	Bình Định	16:00 30/12/2011
04	Trần Công Thiện	Long An	17:20 30/12/2011
05	Phạm Minh Hoàng	Quảng Nam	18:06 30/12/2011
06	Trần Văn Trí	Thừa Thiên Huế	21:41 30/12/2011
07	Ngô Ngọc Vinh	Thừa Thiên Huế	22:34 30/12/2011
08	Phạm Trường Nhân	Bến Tre	00:04 31/12/2011
09	Lê Hòa Quốc Bảo	Thừa Thiên Huế	14:04 31/12/2011
10	Nguyễn Văn Thắng	Đắc Lắc	20:42 31/12/2011
11	Ngô Văn Nam	Khánh Hòa	21:09 31/12/2011

Có một điều khá thú vị là cả 11 bạn đều ở từ Huế trở vào. Điều này chứng tỏ độc giả của tuyensinhvn ở miền Nam nhiều hơn miền Bắc!?
Trong 11 bạn thì có 02 bạn gửi file ảnh, 09 bạn gửi file word. Tuy nhiên chỉ có 03 bạn là biết đánh công thức Toán trong word.

Một bài viết tay đã đoạt giải.

Về nội dung, các bạn đã phát hiện ra khá nhiều lỗi, có cả những lỗi chính tả và lỗi đánh sai năm học, tuy nhiên lỗi trầm trọng nhất trong đáp án vẫn chưa ai khám phá được. Mặc dù vậy chúng tôi vẫn quyết định trao đủ 3 giải: nhất, nhì, ba cho 3 bạn xứng đáng nhất.
Và kết quả chung cuộc như sau:

Giải BA đã thuộc về bạn

Ngô Ngọc Vinh
SĐT: : 0120.259.**** - Email: thjensudjanguc***@yahoo.com.vn.

Giải NHÌ đã thuộc về bạn

Nguyễn Thị Thùy Tâm
SĐT: 098.283.**** - Email: nangsantruong***@yahoo.com.vn.

Giải NHẤT đã thuộc về bạn

Nguyễn Văn Thắng
SĐT: 0169.924.**** - Email: thangnguyen12***@gmail.com.

Xin chúc mừng tất cả các bạn! Chúc các bạn trong năm 2012 đạt kết quả cao trong học tập. Chúc các bạn thi đậu Đại học trong năm nay!

Chúng tôi sẽ chuyển phần thưởng (là mã số card điện thoại tương ứng với trị giá giải thưởng) vào email của các bạn thắng cuộc. Các bạn đăng nhập email của mình để nhận quà nhé!

(*) Bài tổng kết các lỗi sai chúng tôi sẽ công bố sau 1-2 ngày nữa, do trong thời gian này ADMIN đang bận chấm bài và hoàn thành sổ sách, giấy tờ. Mời các bạn đón xem!

Bình luận đề thi học kì 1 môn Toán 12 (Huế) và rinh giải thưởng

Sáng ngày 29/12, học sinh 12 THPT của tỉnh Thừa Thiên Huế bước vào thi môn TOÁN trong kì thi học kì 1 năm học 2011-2012. Học kì 1 năm nay, Sở GD-ĐT tổ chức thi đề chung cho 8 môn, trong đó có môn Toán.
Dưới đây, chúng tôi đăng tải đề thi và đáp án chính thức của Sở GD-ĐT Thừa Thiên Huế. Các học sinh vừa thi xong có thể đối chiếu để xem mình được bao nhiêu điểm. TUY NHIÊN, HÃY CẨN THẬN!
Cẩn thận để ... có thể nhận được GIẢI THƯỞNG TỪ tuyensinhvn.COM (nhân dịp NĂM MỚI 2012 và ADMIN TRÒN 30 TUỔI!).

Làm gì để nhận giải thưởng?

Bạn phải tham gia một cuộc thi nhỏ do chúng tôi tổ chức.

Ai được tham gia?

Vì chỉ là một cuộc thi nhỏ nên tuyensinhvn giới hạn đối tượng là các bạn học sinh đang học lớp 12 trong cả nước.

Tham gia thế nào?

Sau khi đọc kĩ đề thi và đáp án dưới đây, bạn hãy liệt kê những lỗi sai mà bạn tìm thấy, sau đó sửa lại cho đúng, có thể kèm theo lời bình luận. Phải tìm từ những lỗi do sai sót kỹ thuật (như đánh máy, nhầm số,..) đến những lỗi sai trầm trọng về mặt toán học. Tất cả bạn phải soạn thảo trong Word 2003 rồi gửi về cho chúng tôi theo địa chỉ email: admin@tuyensinhvn.com
(Nếu bạn nào không biết soạn thảo bằng word thì có thể viết tay trên giấy A4 rồi chụp ảnh gửi về cho chúng tôi).
Trong bài viết tham dự, bạn phải ghi rõ: họ tên, lớp, trường, số điện thọai di động, địa chỉ email để chúng tôi tiện lợi khi trao giải.

Thời gian tham gia?

Từ khi bài này được xuất bản đến hết ngày 31/12/2011 (như vậy bạn có hơn 2 ngày để "làm bài").

Khi nào trao giải?

Từ 0h ngày 01/01/2012, chúng tôi sẽ tổng hợp và chấm bài để tìm ra những người chiến thắng. Kết quả sẽ được công bố vào lúc 12h00 (trưa) ngày 1/1/2012. Giải thưởng sẽ được chuyển đến tay người thắng cuộc sau đó.

Giải thưởng là gì mà hô hào ghê vậy?

Giải nhất: 1 phần quà trị giá 300.000 đồng (ba trăm ngàn đồng)
Giải nhì: 1 phần quà trị giá 200.000 đồng (hai trăm ngàn đồng)
Giải ba: 1 phần quà trị giá 100.000 đồng (một trăm ngàn đồng)
Ít quá không nhỉ?
(Để tiện cho việc chuyển quà, chúng tôi quy ra card điện thoại di động tương ứng với số tiền trên, đã tham khảo ý kiến của "đồng đội" về giá trị giải thưởng. Giáo viên thì lấy đâu ra nhiều tiền chứ? Thôi thì "của ít lòng nhiều"!).

Và đây là đề thi và đáp án môn Toán lớp 12, học kì 1, năm học 2011-2012 của tỉnh Thừa Thiên Huế.  Lưu ý với các bạn tham gia, chúng tôi đã tìm thấy hơn 6 cụm lỗi sai. Bạn cố gắng tìm nhiều hơn nhé! (Click vào các ảnh để xem rõ hơn.)

Lưu ý rằng, chúng tôi sử dụng đề và đáp án có nhiều lỗi sai này để khắc sâu kiến thức và kĩ năng cho học sinh chứ không có ý định đả kích ai. Chiều ngày 29/12, chúng tôi đã nhận được bản đính chính một số lỗi, nhưng chưa thể post lên đây vì đang tổ chức thi! Hơn nữa, bản đính chính vẫn còn sai!

(*) Cập nhật: Đã công bố người thắng cuộc ở đây: Kết quả cuộc thi "Sai lầm ở đâu?".

Phương pháp quy nạp Toán học - Sai lầm ở đâu?

Các học sinh 11 vừa học xong bài "Phương pháp quy nạp Toán học". Vậy các em hãy xem lời giải của bài toán sau đây.
Bài toán: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n mệnh đề sau đây đúng: "Nếu a và b là những số nguyên dương mà max(a,b)=n thì a=b".
Lời giải:
Bước cơ sở: Với mỗi n nguyên dương, kí hiệu A(n) là mệnh đề đã cho. Rõ ràng A(1) đúng vì nếu max(a,b)=1 thì hiển nhiên a=b (do a,b nguyên dương).
Bước quy nạp: Giả sử A(k) đúng. Nếu a, b là những số nguyên dương sao cho max(a,b)=k+1 thì hai số c=a-1, d=b-1 có max(c,d)=k. Do đó theo giả thiết quy nạp, ta suy ra c=d. Vì vậy a-1=b-1, suy ra a=b. Vậy A(k+1) đúng.
Theo nguyên lý quy nạp, A(n) đúng với mọi số nguyên dương n.

Nếu bài toán trên đúng thì ta suy ra mọi số tự nhiên đều bằng nhau. Điều này là vô lí. Vì vậy chắc chắn trong lời giải trên có chỗ nào đó bị sai. Bạn hãy tìm xem!

Đã đăng: Tập xác định hàm số lũy thừa - sai lầm ở đâu?

Tập xác định hàm số lũy thừa - Sai lầm ở đâu?

Bài viết này sẽ đăng 3 lời giải khác nhau cho 1 bài toán tương tự một bài tập trong SGK Toán 12 cơ bản về tập xác định của hàm số lũy thừa.

Sai lầm ở đâu?

Các bạn hãy cho biết, trong các lời giải trên, lời giải nào sai và sai ở chỗ nào? Vui lòng để lại ý kiến của bạn trong phần nhận xét của bài này.