Cho hàm véc tơ $f: {\mathbb{R}}^n \longrightarrow {\mathbb{R}}^m, a\in {\mathbb{R}}^n$. Hàm $f$ được gọi là khả vi tại $a$ nếu có ánh xạ tuyến tính $\lambda: {\mathbb{R}}^n \longrightarrow {\mathbb{R}}^m$ sao cho
$$\lim \limits_{||h\rightarrow 0||}\frac{||f(a+h)-f(a)-\lambda(h)||}{||h||}=0$$
Khi đó, ánh xạ tuyến tính $\lambda$ được gọi là đạo hàm của $f$ tại $a$ và kí hiệu là $Df(a)$.
Lưu ý:
- Trong định nghĩa trên không cần $f$ xác định trên ${\mathbb{R}}^n$ mà chỉ cần $f$ xác định trên một tập mở chứa $a$.
- Đạo hàm của $f$ tại $a$ nêu có là duy nhất.
- Nếu $f: {\mathbb{R}}^n \longrightarrow {\mathbb{R}}^m $ là hàm hằng thì $Df(a)= 0, \forall a\in {\mathbb{R}}^n $.
- Nếu $f: {\mathbb{R}}^n \longrightarrow {\mathbb{R}}^m $ là ánh xạ tuyến tính thì $Df(a)= f, \forall a\in {\mathbb{R}}^n $.
- Hàm $f: {\mathbb{R}}^n \longrightarrow {\mathbb{R}}^m $ khả vi tại $a$ khi và chỉ khi mỗi hàm tọa độ $f^i$ khả vi tại $a$ và
Định lý:
Nếu $f: {\mathbb{R}}^n \longrightarrow {\mathbb{R}}^m $ khả vi tại $a$ và $g: {\mathbb{R}}^m \longrightarrow {\mathbb{R}}^n $ khả vi tại $f(a)$ thì $g \circ f$ khả vi tại $a$ và
$$D(g \circ f)(a)=Dg(f(a))\circ Df(a).$$
